图的Hom复形的同伦群

在基点图范畴的背景下，我们研究了来自 \cite{DocHom} 的 $\times$-同伦概念。主要结果是一个长正合序列，它将空间 $\Hom_*(G,H)$ 的高阶同伦群与 $\Hom_*(G,H^I)$ 的同伦群联系起来。这里 $\Hom_*(G,H)$ 是一个参数化从 $G$ 到 $H$ 的基点图映射的空间（通常 $\Hom$ 复形的基点版本），而 $H^I$ 是 $H$ 中基于道路的图。作为推论，证明了 $\pi_i \big(\Hom_*(G,H) \big) \cong [G,\Omega^i H]_{\times}$，其中 $\Omega H$ 是 $H$ 中基于闭道路的图，$[G,K]_{\times}$ 是从 $G$ 到 $K$ 的基点图映射的 $\times$-同伦类集合。这在精神上与 \cite{BBLL} 的结果相似，在该文献中，作者寻找一个空间，其同伦群能编码图的一种类似定义的同伦理论。我们讨论了这些构造之间的范畴联系。