平方自由图同态 Hom 复合的同伦类型

给定有限简单图 $G$ 和 $H$，Hom 复合 $\mathrm{Hom}(G,H)$ 是一个多胞复合体，其顶点为图同态 $G\to H$。我们确定当 $H$ 为平方自由（即不包含 4 环图 $C_4$ 作为子图）时，$\mathrm{Hom}(G,H)$ 每个连通分支的同伦类型。具体而言，对于连通的 $G$ 和平方自由的 $H$，我们证明 $\mathrm{Hom}(G,H)$ 的每个连通分支都同伦等价于若干个环的 wedge 和。我们进一步证明，给定任意图同态 $f\colon G\to H$ 到平方自由的 $H$，可算法地确定 $\mathrm{Hom}(G,H)$ 包含 $f$ 的连通分支的同伦类型。