直径为$1$的图的Hom复形

给定有限单纯复形$X$与直径为$1$的连通图$T$，在\cite{anton}中Dochtermann曾猜想$\text{Hom}(T,G_{1,X})$同伦等价于$X$。这里，$G_{1, X}$是通过取$X$的第一次重心细分的一维骨架并在每个顶点添加环所得的反射图。该结论由Dochtermann与Schultz在\cite{ds12}中证明。本文通过理解Hom$(K_n,G_{1,X})$的胞腔结构（其中$K_n$为$n$个顶点的完全图）给出这一结果的另一种证明。我们证明$G_{1,X}$的邻域复形同伦等价于$X$，且对每$n\geq 3$有Hom$(K_n,G_{1,X})\simeq$ Hom$(K_{n-1},G_{1,X})$。