Hom 复形的拓扑与用于界定色数的测试图

我们引入了理解 $\Hom$ 复形（两个图之间同态的空间）拓扑的新方法，主要是在图和偏序集上的群作用背景下。我们将 $\Hom(T,-)$ 和 $\Hom(-,G)$ 视为从图到偏序集的函子，并引入一个从偏序集到图的函子 $(-)^1$，该函子通过将原子作为顶点来获得图。我们的主要结构结果建立了 $\Hom$ 复形的等变同伦型在等变偏序集映射空间和空间的 $\Gamma$-扭积方面的有用解释。当 $P = F(X)$ 是单纯复形 $X$ 的面偏序集时，这为控制 $\Hom$ 复形的拓扑提供了一种有用的方法。这些结果最重要的应用是构造具有任意大色数的新族“测试图”——图 $T$ 具有如下性质：$\Hom(T,G)$ 的连通性为 $G$ 的色数提供了最佳可能的下界。我们特别关注两个无限族，它们被视为奇环的高维类比。“球面图”族与同态对偶的概念有关，而“扭曲环面图”族则使我们建立了一个关于色数拓扑下界与最大度之间关系的猜想（归功于 Lovász）的弱化版本。其他结构结果使我们能够证明，任何具有对称群 $S_n$ 自由作用的有限单纯复形 $X$ 都可以在 $S_n$-同伦等价的意义下被近似为某个图 $G$ 的 $\Hom(K_n,G)$；这是 Csorba 结果的一个推广。我们以一些关于我们研究中涉及的底层范畴概念的讨论来结束本文。