过滤单纯同调、图不相似度与über同调

我们利用有限单纯复形X的顶点双着色，在其单纯同调上引入一种过滤。这给出了两种与X上离散Morse匹配密切相关的对偶同调理论。当X为平面图G的Tait图的对偶图的匹配复形时，我们给出了这些同调的关联分次对象的显式表达，用G的对偶图上某些匹配所确定的子图表示。随后，在X为图的情形下，我们利用其中一种同调定义了一种猜想为最优的图不相似伪度量；我们证明了该不相似度的若干结果并给出了若干计算。我们进一步表明，通过将单纯复形的水平同调按其着色偏序集组织，可得到一种三重分次同调理论，称之为über同调。此后一种同调并非同伦不变量，但仍编码了X的组合与拓扑信息。例如，我们证明若X为细分，则über同调在其最低次消失；而对于同调流形，其在最高次与基本类一致。我们在若干例子类与无限族上计算了über同调，并证明了其若干性质；即在其极值次数下，其在锥化与取悬垂下表现良好。随后我们聚焦于X为简单图的情形，并证明了一个检测结果。最后，我们定义了通过在某些双次数上特化über同调而得到的图的单分次同调，给出了一些计算，并利用计算机辅助计算提出了若干猜想。