图范畴中的 Hom 复形与同伦理论

我们研究图映射的一种 $\times$-同伦概念,它基于图范畴中范畴积所对应的内部同态。我们证明图的 $\times$-同伦由 $\Hom$ 复形的拓扑性质所刻画;$\Hom$ 复形是一种函子式方法,将一对图赋予一个偏序集(从而赋予一个拓扑空间),它由 Lov\'{a}sz 引入,并由 Babson 和 Kozlov 进一步研究以给出色数的拓扑上界。在此过程中,我们还建立了 $\Hom$ 复形的一些涉及图的乘积与指数的结构性质,以及一个对称性结果,可用于重新证明 Kozlov 关于图折叠的一个定理。图的 $\times$-同伦自然导出同伦等价的概念,我们证明它具有若干等价的刻画。我们将 $\times$-同伦等价的概念应用于可拆图类,得到一组再次刻画此类图的条件。最后我们讨论了由其他内部同态产生的图同伦,包括在自反图范畴中由笛卡尔积相关联的 '$A$-理论' 的构造。