沿实超曲面标架化的全纯丛与黎曼-希尔伯特问题

设 $X$ 为连通紧复流形，$S\subset X$ 为分离实超曲面，使得 $X$ 分解为带边界的紧复流形 $\bar X^\pm$ 的并。令 $\mathcal{M}$ 为 $S$-标架化全纯丛的模空间，即由固定拓扑型的对 $(E,\theta)$ 组成，其中 $E$ 是 $X$ 上的全纯丛，$\theta$ 是其限制到 $S$ 上的平凡化，属于固定的 Hölder 正则类 $\mathcal{C}^{\kappa+1}$。$S$-标架化全纯丛 $(E,\theta)$ 到 $\bar X^\pm$ 的限制是边界标架化形式全纯丛 $(E^\pm,\theta^\pm)$，它们通过 $\theta^\pm$ 在 $S$ 上的平凡丛上诱导相同的切向 Cauchy-Riemann 算子，因此得到从 $\mathcal{M}$ 到 Cauchy-Riemann 算子空间 $\mathcal{C}$ 上的纤维积 $\mathcal{M}^-\times_\mathcal{C}\mathcal{M}^+$ 的自然映射。我们的主要结果表明：对 $\kappa\in (0,\infty]\setminus\mathbb{N}$，该映射是同胚。证明基于沿实超曲面的形式全纯丛粘合原理。该原理也可用于对一大类黎曼-希尔伯特型问题解空间给出复几何解释。结果向两个方向推广：首先可用沿任意有向超曲面 $S$ 切割 $X$ 所得的带边界流形 $\widehat X_S$ 替代分离超曲面相关的分解；其次可考虑任意复李群 $G$ 的主 $G$ 丛。我们给出（边界）标架化全纯丛模空间的显式例子以及由一般结果给出的同胚的显式公式。