双曲黎曼曲面上主丛的局部齐次联络

设 $g$ 为可微紧流形 $M$ 上的局部齐次(LH)黎曼度量,$K$ 为紧李群,其李代数 $\mathfrak{k}$ 上赋予 $\mathrm{ad}$-不变内积。主 $K$-丛 $p:P\to M$ 上的联络 $A$ 称为局部齐次的,如果对任意两点 $x_1$, $x_2\in M$,存在开邻域 $U_i\ni x_i$ 之间的等距 $\varphi:U_1\to U_2$,将 $x_1$ 映到 $x_2$,且容许保持联络 $A$ 的 $\varphi$-覆盖丛同构。该条件在丛的自同构群(规范群)作用下不变,因此 LH 联络的分类问题引出一个有趣的模问题:对固定的上述对象 $(M,g,K)$,从几何上描述 $M$ 上主 $K$-丛的所有 LH 联络的模空间(模丛同构)。注意若 $A$ 为 LH,则 $P$ 上相伴的联络度量 $g_A$ 为局部齐次的,从而在丛的全空间上定义了一种(Thurston 意义上的)几何结构。因此该模问题与可黎曼浸没到给定流形 $M$ 上的 LH(几何)黎曼流形的分类相关。略去细节,我们的模问题关乎给定几何底空间上几何纤维丛的分类。我们发展了描述给定底空间上 LH 联络模空间的一般方法。利用该方法,当底流形为双曲黎曼曲面 $(M,g)$ 且 $K\in\{S^1,PU(2)\}$ 时,我们给出了这些模空间的显式描述。$K=S^1$ 的情形给出了双曲黎曼曲面上 Yang-Mills $S^1$-联络模空间的新构造;而 $K=PU(2)$ 的情形引出一族单参数的紧 5 维几何流形,我们对其作了详细研究。