多边际最优传输的统一康托尔瓦希夫对偶理论
最优化与控制
2026-01-27 v1 机器学习
摘要
多边际最优传输（MOT）近年来因其在机器学习和统计学中的应用而受到广泛关注，尤其是为了联合比较和对齐多个概率分布。本文提出了一种关于一般波兹克积空间上具有界限连续费用的MOT问题的统一而完整的康托尔瓦希夫对偶理论。对于边际紧凑空间，通过凸分析的重新表述推导了对偶恒等式，将对偶问题识别为费恩赫-罗卡尔曼共轭。我们获得了对偶实现性，证明最优势函数可始终选取于 -共轭族中，从而将经典的两边际共轭原理扩展为真正意义上的多边际化。对于非紧凑空间，由于无法直接应用紧凑性论证，我们通过基于波兹克空间中多边际传递计划的弱紧凑性及费用有界性的截断紧致性程序来恢复对偶。我们证明，对偶值在限制到紧凑子集后得以保持，且可规范化的双偶族可正则化为均匀有界的 -共轭势函数。该论证依赖于对 -分割集及其与多边际 -循环单调性等价性的精细运用。随后我们在任意波兹克空间上获得对偶实现性及精确的原对偶等式，并通过 -共轭获得对最优双偶势函数的标准表示。这些结果为进一步发展MOT的概率与统计分析提供了结构基础，包括稳定性、可微性以及在边际扰动下的渐近理论。
引用
@article{arxiv.2601.17171,
title = {A Unified Kantorovich Duality for Multimarginal Optimal Transport},
author = {Yehya Cheryala and Mokhtar Z. Alaya and Salim Bouzebda},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.17171},
year = {2026}
}