经验最优传输分布极限的统一处理方法

我们为经验最优传输（OT）的中心极限型定理提供了一种统一处理方法。一般而言，极限分布被刻画为高斯过程的 supremum。我们明确刻画了极限分布何时为中心正态或退化为Dirac测度。此外，与近期关于欧氏空间上经验OT分布极限律、需围绕其期望中心化的研究不同，此处获得的分布极限围绕总体量中心化，这非常适于统计应用。我们理论的核心是用Kantorovich对偶将OT表示为在某个足够正则的代价函数$c$下函数类$\mathcal{F}_{c}$上的supremum。就此，OT被视为定义在$\ell^{\infty}(\mathcal{F}_{c})$（从$\mathcal{F}_{c}$到$\mathbb{R}$的有界泛函的Banach空间，赋予一致范数）上的泛函。我们证明OT泛函是Hadamard方向可微的，并通过函数delta方法得出分布收敛，该方法需要$\ell^{\infty}(\mathcal{F}_{c})$中底层经验过程的弱收敛。后者可由经验过程理论处理，并要求$\mathcal{F}_{c}$为Donsker类。我们给出了依赖于底空间维数、底层代价函数及所考虑概率测度的充分条件以保证Donsker性质。总体而言，我们的方法揭示了经验OT中心极限定理中固有的显著权衡：Kantorovich对偶要求$\mathcal{F}_{c}$足够丰富，而经验过程仅在$\mathcal{F}_{c}$不太复杂时才弱收敛。