重探抽象 Lax-Oleinik 算子框架下的最优传输

这是我们关于扩展近期 Lax-Oleinik 交换子工作及其在 Hamilton-Jacobi 方程粘性解奇性传播内蕴方法中应用的第一篇论文。我们用抽象 Lax-Oleinik 算子重新表述了最优传输理论中的 Kantorovich-Rubinstein 对偶定理，并分析了当代价函数 $c(x,y)=h(t_1,t_2,x,y)$ 为 Hamilton-Jacobi 方程的基本解时的相关最优传输问题。为了进一步应用于最优传输中的割迹与奇性传播问题，我们引入了相应的随机 Lax-Oleinik 算子。我们还研究了 $c$-凹函数的奇性问题及其动力学含义，分别讨论了当 $c$ 为 $t_2-t_1\ll1$ 且 $t_2-t_1<\infty$ 时的基本解，以及 $c$ 为 Peierls 势垒的情形。