负熵、零温与区间上的平稳马尔可夫链

我们分析了伯努利空间 $[0,1]^\mathbb{N}$ 上最大化平稳马尔可夫概率的一些性质。更确切地说，我们考虑连续势函数 $A$ 的遍历优化问题，其中 $A: [0,1]^\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ 仅依赖于前两个坐标。我们致力于寻找 $[0,1]^\mathbb{N}$ 上的平稳马尔可夫概率 $\mu_\infty$，使其在所有 $[0,1]^\mathbb{N}$ 上的平稳马尔可夫概率 $\mu$ 中最大化数值 $\int A d \mu$。该问题对应于统计力学中由势函数 $A$ 描述的相互作用的零温情形。本文的主要目的是在最大化概率唯一的假设下，证明一族绝对连续马尔可夫概率 $\mu_\beta$ 的大偏差原理，其中 $\mu_\beta$ 弱收敛于 $\mu_\infty$。概率 $\mu_\beta$ 是通过从 Perron 算子获得的信息得到的，并且满足类似于压强的变分原理。在 $A$ 为 $C^2$ 类且满足 twist 条件（即对于所有 $(x,y) \in [0,1]^2$，有 $\frac{\partial^2 A}{\partial_x \partial_y} (x,y) \neq 0$）的假设下，我们证明了图像性质。