非线性热力学形式学：均相相变、大偏差与博格利亚科夫变分原理

设 $\Omega =\{1,2,\ldots ,d\}^{\mathbb{N}}$，$T$ 为 $\Omega$ 上的平移算子，$\mathcal{P}(T)$ 为 $T$-不变概率测度的集合。给定 Hölder 条件势函数 $A$ 与连续函数 $F$，我们研究使非线性压力 $\mathfrak{P}_{F,A}:=\sup_{\rho \in \mathcal{P}(T)}\{ F(\int A(x)\rho (\mathrm{d}x))+h(\rho )\}$ 的最大化器 $\rho _{F,A}$。$\rho _{F,A}$ 称为非平衡态；当存在多个时即发生非线性相变。在 $F$ 为凸函数或凹函数时，我们结合 Varadhan 引理与博格利亚科夫变分原理，通过线性压力问题与自洽条件来刻画其特征。设 $\mu \in \mathcal{P}(T)$ 为最大熵测度，$\varphi _{n}(x)=n^{-1}(\varphi (x)+\varphi (T(x))+\cdots +\varphi (T^{n-1}(x)))$ 且 $\beta >0$。\newline (I) 我们还考虑 $\Omega$ 上的极限测度 $\mathfrak{m}$，使得对所有 $\psi \in C(\Omega )$，都有 $\int \psi (x)\,\mathfrak{m}\,( \mathrm{d}x)\,\,=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\,\int \,\psi (x)\,\,\,e^{ \frac{\beta n}{2}\,\,A_{n}((x)^{2}}\,\,\mu \,(\mathrm{d}x)\,}{\int e^{\frac{ \beta n}{2}\,\,A_{n}((x)^{2}}\mu \,(\mathrm{d}x)\,}$。我们称 $\mathfrak{m}$ 为 \textit{二次均匀兰ibbs概率}\newline (II) 通过子序列 $n_{k}$，$k\in \mathbb{N}$，我们研究 $\Omega$ 上的极限测度 $\mathfrak{M}$，使得对所有 $\psi \in C(\Omega )$，都有 $\int \psi (x)\mathfrak{M}(\mathrm{d} x)=\lim_{k\rightarrow \infty }\frac{\,\int \psi _{n_{k}}(x)e^{\frac{\beta n_{k}}{2}A_{n_{k}}(x)^{2}}\mu (\mathrm{d}x)}{\int e^{\frac{\beta n_{k}}{2} A_{n_{k}}(x)^{2}}\mu (\mathrm{d}x)}$。我们称 $\mathfrak{M}$ 为二次均匀平衡概率；它具有平移不变性。给出了具体例子。