移位作用的遍历定理与Abért–Weiss定理的点态版本

设$\Gamma$为一个可数无限群。遍历理论中的一个常见主题是：从一个保概率测度（p.m.p.）作用$\Gamma \curvearrowright (X, \mu)$与映射$f \in L^1(X, \mu)$出发，将$f$的全局平均$\int f \,\mathrm{d}\mu$与点态平均$|D|^{-1} \sum_{\delta \in D} f(\delta \cdot x)$进行比较，其中$x \in X$且$D$为$\Gamma$的非空有限子集。基本的期望是，当$D$取遍某个适当选取的无穷序列时，这些点态平均应对$\mu$-几乎所有$x$收敛到全局值。本文中我们证明了若干结果，通过一致控制特定集合$D$上的平均、而非考虑其当$|D| \to \infty$时的极限，来精炼上述基本范式。我们的结果包括关于Bernoulli移位作用$\Gamma \curvearrowright ([0;1]^\Gamma, \lambda^\Gamma)$的遍历定理，以及对Abért与Weiss关于移位弱包含于$\Gamma$的每个自由p.m.p.作用之定理的加强。特别地，我们建立了对次指数增长的有限生成群而言的Abért–Weiss定理的纯Borel版本。我们论证的核心角色由最近引入的Lovász局部引理的可测版本扮演，它们分别出自当前作者以及Csóka、Grabowski、Máthé、Pikhurko与Tyros。