负移位与 Beta 移位的模式

$\beta$-shift 是从单位区间到其自身的变换，将 $x$ 映射为 $\beta x$ 的小数部分。由这些映射的轨道中元素的相对顺序所实现的排列，已在 $\beta$ 为正整数和实数 $\beta>1$ 的情况下得到了研究。在这两种情况下，都给出了实现一个排列所需的最小正 $\beta$ 值的组合描述。在本文中，我们将这些结果推广到负 $\beta$ 的情况，包括整数情形和实数情形。负 $\beta$-shift 与具有负实基的数字展开相关，后者由 Ito 和 Sadahiro 以及 Liao 和 Steiner 进行过研究。