$(-\beta)$-变换及其相关的 Zeta 函数

给定实数 $\beta > 1$，我们研究了由 S. Ito 和 T. Sadahiro 引入的相关的 $(-\beta)$-变换。我们将 $(-\beta)$-变换的某些方面与 $\beta$-变换进行了比较。当 $-\frac{\beta}{\beta+1}$ 在 $-\beta$ 进制下的展开具有奇数周期，或当 $\beta$ 严格小于黄金比例时，由 S. Ito 和 T. Sadahiro 定义的 $(-\beta)$-变换无法被编码，因为其语言不具备传递性。这种词的非传递性解释了区间中间隙的存在。我们观察到，非传递词出现在取自间隙内的实数的 $(-\beta)$-展开中。此外，我们确定了 $(-\beta)$-变换的 Zeta 函数 $\zeta_{-\beta}$ 及相关的圈计数函数 $L_{T_{-\beta}}$。这两个函数通过关系式 $\zeta_{-\beta}=(1-z^2)L_{T_{-\beta}}$ 相联系。我们观察到了其与 $\beta$-变换的 zeta 函数的一些相似之处。函数 $\zeta_{-\beta}$ 在单位圆盘内是亚纯的，在开圆盘 $\{z |z| < \frac{1}{\beta} \}$ 内是全纯的，在 $\frac{1}{\beta}$ 处有一个简单极点，且在满足 $|z| = \frac{1}{\beta}$ 的其他点处没有其他奇点。我们还注意到了间隙（$\beta$ 小于黄金比例）对 zeta 函数的影响。在 $\zeta_{-\beta}$ 分母的因子中，系数对生成间隙的词进行了计数。