β展开中平面等待集的多重分形谱

设$\beta>1$为实数。本文确定了由$\beta$-展开中具有给定定量等待时间指标的数组对所构成集合的Hausdorff维数。更精确地,设$I$为单位区间$[0,1)$,并分别记$\underline{R}^\beta(x,y)$与$\overline{R}^\beta(x,y)$为$y$关于$x$在$\beta$-展开中的下、上定量等待时间指标。在平面上定义等待集$$E_\beta(a,b)=\left\{(x,y)\in I^2\colon\underline{R}^\beta(x,y)=a,\overline{R}^\beta(x,y)=b\right\}.$$其中$0\leq a\leq b\leq\infty$,则对任意一对数$a$和$b$,集合$E_\beta(a,b)$的Hausdorff维数恒为2。此外,最后一节还给出了该结果的一些推广。