$\beta$-动力系统中 Birkhoff 平均的发散点的多重分形分析

本文旨在详细研究 $\beta$-展开系统中所谓的发散点的多重分形分析。更精确地，令 $([0,1),T_{\beta})$ 为一般 $\beta>1$ 的 $\beta$-动力系统，$\psi:[0,1]\mapsto\mathbb{R}$ 为连续函数。用 $\textsf{A}(\psi,x)$ 表示 $\Big\{\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}\psi(T^jx): n\ge 1\Big\}$ 的所有聚点。集合 $$\Big\{x:\textsf{A}(\psi,x)\supset[a,b]\Big\},\ \ \Big\{x:\textsf{A}(\psi,x)=[a,b]\Big\}, \ \ \Big\{x:\textsf{A}(\psi,x)\subset[a,b]\Big\}$$ 的 Hausdorff 维数，即那些 $\psi$ 的 Birkhoff 平均不存在但以某种预定方式表现的点的集合，对任意连续函数 $\psi$ 被完全确定。