beta 动力系统中的高维收缩靶问题

我们考虑一般 $\beta>1$ 且带有一般逼近误差的二维 beta 动力系统中的收缩靶问题。设 $f, g$ 为两个正连续函数。对任意 $x_0,y_0\in[0,1]$，定义收缩靶集 $$E(T_\beta, f,g):=\left\{(x,y)\in [0,1]^2: \begin{array}{ll} |T_{\beta}^{n}x-x_{0}|<e^{-S_nf(x)}\ [1ex] |T_{\beta}^{n}y-y_{0}|< e^{-S_ng(y)} \end{array} \ {\text{for infinitely many}} \ n\in \N \right\},$$ 其中 $S_nf(x)=\sum_{j=0}^{n-1}f(T_\beta^jx)$ 为 Birkhoff 和。我们计算了该集合的 Hausdorff 维数，并证明其为某个压函数的解。这是高维 beta 动力系统此类结果的首次成果。