分数布朗运动的均匀维数结果

考夫曼维数加倍定理指出，对于平面布朗运动 $\{\mathbf{B}(t): t\in [0,1]\}$，我们有 $$\mathbb{P}(\dim \mathbf{B}(A)=2\dim A \textrm{ for all } A\subset [0,1])=1,$$ 其中 $\dim$ 可表示 Hausdorff 维数 $\dim_H$ 和填充维数 $\dim_P$。本文的主要目标是在一维情形证明类似的均匀维数结果。设 $0<\alpha<1$，并设 $\{B(t): t\in [0,1]\}$ 为赫斯特指数 $\alpha$ 的分数布朗运动。对于确定性集合 $D\subset [0,1]$，考虑如下命题：$$(A) \quad \mathbb{P}(\dim_H B(A)=(1/\alpha) \dim_H A \textrm{ for all } A\subset D)=1,$$ $$(B) \quad \mathbb{P}(\dim_P B(A)=(1/\alpha) \dim_P A \textrm{ for all } A\subset D)=1,$$ $$(C) \quad \mathbb{P}(\dim_P B(A)\geq (1/\alpha) \dim_H A \textrm{ for all } A\subset D)=1.$$ 我们引入了一个新的维数概念，修正的 Assouad 维数，记为 $\dim_{MA}$。我们证明 $\dim_{MA} D\leq \alpha$ 蕴含 (A)，这使我们能够重新证明 Angel、Balka、M\'ath\'e 和 Peres 的一个限制定理。我们表明若 $D$ 是自相似的，则 (A) 等价于 $\dim_{MA} D\leq \alpha$。此外，若 $D$ 是由数字限制定义的集合，则 (A) 成立当且仅当 $\dim_{MA} D\leq \alpha$ 或 $\dim_H D=0$。(A) 的刻画在一般情况下仍然开放。我们证明 $\dim_{MA} D\leq \alpha$ 蕴含 (B)，且若 $D$ 是解析集则二者等价。我们表明 (C) 等价于 $\dim_H D\leq \alpha$。这意味着若 $\dim_H D\leq \alpha$ 且 $\Gamma_D=\{E\subset B(D): \dim_H E=\dim_P E\}$，则 $$\mathbb{P}(\dim_H (B^{-1}(E)\cap D)=\alpha \dim_H E \textrm{ for all } E\in \Gamma_D)=1.$$ 特别地，$B|_{D}$ 的所有水平集几乎必然具有 Hausdorff 维数零。