带漂移的高斯随机场像与图的填充维数

设 $X=\{(X_1(t),\dots,X_d(t)): t\in \mathbb{R}^n\}$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中的高斯随机场，使得 $X_1,\dots,X_d$ 是独立的、具有连续样本路径的中心化高斯随机场。设 $f\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^d$ 为 Borel 映射，$A\subset \mathbb{R}^n$ 为解析集。本文的主要目标是在非常温和的假设下，确定限制在 $A$ 上的 $X+f$ 的像与图的填充维数的几乎必然值。这推广了 Du、Miao、Wu 和 Xiao 的结果，他们计算了当 $X_1,\dots,X_d$ 是同一高斯随机场 $X_0$ 的独立副本时 $X(A)$ 的填充维数。当 $X$ 是分数布朗运动时，即使 $n=d=1$ 且 $f$ 连续，甚至在图的情形下 $f\equiv 0$，我们的结果也是新的。对于分数布朗运动 $X$，我们还得到了 $X$ 在 $A$ 上的图的填充维数的精确下界，用 $X$ 的 Hurst 指数和 $A$ 的填充维数表示。像的类似结果由 Talagrand 和 Xiao 获得。