一维及高维空间中的反射分数布朗运动

分数布朗运动（FBM）是一种具有长程关联的非马尔可夫自相似高斯随机过程，是应用广泛的反常扩散范式数学模型。我们报道了在一、二、三维空间中，存在将运动限制于有限空间区域的反射边界时，FBM的大规模计算机模拟结果。在早先关于有限和半无限一维区间结果的基础上推广，我们观察到FBM的长时关联与反射边界之间的相互作用，导致稳态概率密度相对于正常扩散所得到的均匀密度出现显著偏离。对于超扩散FBM，粒子在边界处聚集；而对于亚扩散，边界处粒子密度则减少。具体而言，概率密度$P$随距壁距离$r$呈现出幂律奇异性，即$P\sim r^\kappa$。我们确定了指数$\kappa$随维度、限制几何以及FBM反常扩散指数$\alpha$的变化关系。我们还讨论了结果的含义，包括将其应用于脊椎动物大脑中5-羟色胺能纤维密度模式的建模。