离散型分数布朗运动的高斯性评估

离散性扩散过程在诸多领域都十分常见，包括活细胞内蛋白质运动、鸟类和哺乳动物的迁徙行为以及金融领域。这些过程常以时变动力学特征出现，环境相互作用随之演变，系统经历扩散系数的波动。此外，在许多复杂系统中都观察到异常扩散，即均方位移 (MSD) 随时间呈非线性比例关系。分数布朗运动 (fractional Brownian motion, FBM) 是描述这一现象的模型之一，广泛应用于表现长程时间相关性的系统。虽然 FBM 以高斯增量特征著称，但具有 FBM 类似特征的离散性过程可能偏离高斯性。在本文中，我们研究了切换分数布朗运动 (switching fractional Brownian motion, SFBM) 的非高斯行为，该模型保持时间相关性的同时使 FBM 过程的扩散系数发生变化。为刻画非高斯性，我们评估了常用的衡量标准——峰度 (kurtosis)，其用于量化偏离正态分布的程度。我们推导了所讨论的离散性异常扩散过程的峰度的精确表达式，并研究了其如何识别非高斯行为。我们还将峰度结果与使用 Hellinger 距离（用于衡量概率密度函数之间距离的经典方法）获得的结果进行比较。通过解析方法和数值方法，我们展示了峰度作为检测离散性异常扩散过程非高斯性指标的潜力。