带重叠项的自相似测度的倍增性

最近，Yang、Yuan 和 Zhang [Doubling properties of self-similar measures and Bernoulli measures on self-affine Sierpinski sponges, Indiana Univ. Math. J., 73 (2024), 475-492] 刻画了满足开集条件的自相似测度为何满足倍增性。本文研究带重叠项的自相似测度何时为倍增。设 $m\geq 2$，记 $\beta>1$ 为满足 $\beta^m=\sum_{j=0}^{m-1}\beta^j$ 的 Pisot 数。设 $\mathbf{p}=(p_1,p_2)$ 为概率权重，记 $\mu_{\mathbf{p}}$ 为由 IFS $\{ S_1(x)={x}/{\beta}, S_2(x)={x}/{\beta}+(1-{1}/{\beta}) \}$ 对应的自相似测度。Yung [...,Indiana Univ. Math. J., ] 证明当 $m=2$ 时，$\mu_{\mathbf{p}}$ 为倍增当且仅当 $\mathbf{p}=(1/2,1/2)$。我们证明当 $m\geq 3$ 时，$\mu_{\mathbf{p}}$ 永远为非倍增。