与无穷线性迭代函数系统相关的新分形现象

我们建立了若干与由无穷线性迭代函数系统生成的展开式相关的新分形和数论现象。首先，我们证明了广义吕罗特展开的柱集族 $\Phi$ 通常对于豪斯多夫维数计算是不忠实的。利用尤瓦尔·佩雷兹的方法，我们证明了此类柱集族不忠实的充分条件。另一方面，也找到了此类覆盖系统忠实性的相当一般的充分条件。作为我们主要结果的推论，我们得到了由经典吕罗特展开生成的柱集族的不忠实性。随机向量 $Q_\infty$ 的可能无穷熵——它决定了广义吕罗特展开划分的度量关系——族 $\Phi(Q_\infty)$ 的可能不忠实性，以及即使对于具有独立同分布符号的广义吕罗特展开的概率测度也缺乏计算豪斯多夫维数的一般公式，所有这些事实使得通常的概率方法以及动力系统方法无法用于研究非正规数相应子集的分形性质。尽管存在上述困难，我们发展了一种研究 $Q_\infty$-本质非正规数子集的新方法，并证明了（无需对随机向量 $Q_{\infty}$ 附加任何限制）该集合是超分形的。这一结果回答了文献 \cite{AKNT2} 中提及的公开问题，并完成了通过广义吕罗特展开中数字频率的渐近行为对实数进行的度量、维数和拓扑分类。