关于线性与非线性无限 IFS 与复数continued fraction 的极限集

我们引入两种无限迭代函数系统（IFS） $\mathcal{F}(\mathbf{d}, T)$ 和 $\mathcal{G}(\mathbf{d}, T)$，由正实数序列 $\mathbf{d}$ 和自然数 $T$ 参数化，研究其极限集的度量性质。 $\mathcal{G}(\mathbf{d}, T)$ 是一种无限 Mobius IFS，是将实数continued fraction 的 IFS 扩展到复平面闭单元圆上的 IFS。 $\mathcal{F}(\mathbf{d}, T)$ 是一种无限线性 IFS，与 $\mathcal{G}(\mathbf{d}, T)$ 具有相同的第一近似。我们证明，对于许多 $\mathbf{d}$ 和 $T$ 的选择，两种 $\mathcal{F}(\mathbf{d}, T)$ 和 $\mathcal{G}(\mathbf{d}, T)$ 的极限集都 exhibits 独特于无限 IFS 的现象，如在 Hausdorff 维数下拥有零 Hausdorff 测度、在 packing 维数下拥有无穷 packing 测度，或拥有不同的 Hausdorff 与 packing 维数。我们还证明，在参数满足 certain 条件下， $\mathcal{F}(\mathbf{d}, T)$ 极限集的 Hausdorff 维数严格大于 $\mathcal{G}(\mathbf{d}, T)$ 的 Hausdorff 维数。