关于向日葵集

Alon、Shpilka和Umans考虑了通常无向日葵子集的如下版本：对于$D>2$，子集\mbox{\cal F}\subseteq \{1,\ldots ,D\}^n若对任意不同三元组x,y,z\in \mbox{\cal F}均存在坐标$i$使得$x_i,y_i,z_i$中恰有两个相等，则称为无向日葵集。Naslund和Sawin将多项式方法与特征标理论结合，证明了任意无向日葵集\mbox{\cal F}\subseteq \{1,\ldots ,D\}^n的大小满足 |\mbox{$\cal F$}|\leq c_D^n, 其中$c_D=\frac{3}{2^{2/3}}(D-1)^{2/3}$。在本短文中，我们给出了$\{1,\ldots ,D\}^n$中无向日葵子集大小的新上界。我们的主要结果是对无向日葵$k$-一致子集大小的新上界。更确切地说，令$k$为任意整数。设\mbox{\cal F}为一个无向日葵$k$-一致集系统。考虑M:=|\bigcup\limits_{F\in \mbox{\cal F}} F|.则有 |\mbox{$\cal F$}|\leq 3(\lceil\frac{2k}{3}\rceil+1)(2^{1/3}\cdot 3e)^k(\lceil\frac Mk\rceil -1)^{\lceil\frac{2k}{3}\rceil}. 在证明中我们使用了Naslund和Sawin关于$\{1,\ldots ,D\}^n$中无向日葵子集的结果。