向日葵与函数无三角形性测试

若不存在满足 $x_1+x_2+x_3=0$ 且 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=1$ 的 $x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{F}_2^n$，则函数 $f: \mathbb{F}_2^n \rightarrow \{0,1\}$ 被称为无三角形的。在无三角形性测试中，目标是以高概率区分无三角形函数与那些距离无三角形性为 $\varepsilon$-far 的函数。Green 表明该问题规范测试器的查询复杂度上界由一个仅依赖于 $\varepsilon$ 的函数界定 (GAFA, 2005)，然而目前已知的最佳上界是 $1/\varepsilon$ 的塔型函数。规范测试器查询复杂度的已知最佳下界为 $1/\varepsilon^{13.239}$ (Fu 和 Kleinberg, RANDOM, 2014)。在本工作中，我们引入了一种证明无三角形性查询复杂度下界的新方法。我们将该问题与 $\mathbb{Z}_D^n$ 中向量集合的组合问题以及 Alon, Shpilka 和 Umans 研究的向日葵猜想 (Comput. Complex., 2013) 联系起来。这些关系表明，对 $\mathbb{Z}_4$ 上弱向日葵猜想的反驳意味着无三角形性规范测试器的查询复杂度存在超多项式下界。我们的结果推广到了对任意 $k \geq 3$ 和素数 $p$，定义域为 $\mathbb{F}_p^n$ 的函数的 $k$-圈无性测试。此外，通过推广 Coppersmith 和 Winograd (J. Symbolic Comput., 1990) 提出的唯一可解谜题构造，我们将 Fu 和 Kleinberg 的下界推广到了 $k \geq 4$ 的 $k$-圈无性。