Fox 三角形移除论证的算术类比

我们给出了 Fox [Fox11] 近期关于三角形移除引理证明的算术版本，针对群 $\mathbb{F}_2^n$。$\mathbb{F}_2^n$ 中的三角形是指满足 $x+y+z = 0$ 的三元组 $(x,y,z)$。针对 $\mathbb{F}_2^n$ 的三角形移除引理指出，对于每个 $\epsilon > 0$，存在一个 $\delta > 0$，使得如果 $\mathbb{F}_2^n$ 的子集 $A$ 需要移除至少 $\epsilon \cdot 2^n$ 个元素才能使其无三角形，那么它必须包含至少 $\delta \cdot 2^{2n}$ 个三角形。这个问题最早由 Green [Gre05] 研究，他利用算术正则性引理证明了 $\delta$ 的下界。基于正则性的图三角形移除下界最近被 Fox 改进，我们给出了针对 $\mathbb{F}_2^n$ 中三角形移除的类似改进的直接证明。改进后的下界已知可通过 Fox 的有向圈移除引理以及 Kr\'{a}l、Serra 和 Vena [KSV09] 的归约得出（适用于所有群中的三角形移除）（见 [Fox11,CF13]）。本注记的目的是为群 $\mathbb{F}_2^n$ 提供一个直接的傅里叶分析证明。