向量空间中Green算术三角形移除引理的一个紧界

设$p$为一个固定素数。$\mathbb{F}_p^n$中的一个三角形是指满足$x+y+z=0$的有序三元组$(x,y,z)$。令$N=p^n=|\mathbb{F}_p^n|$。Green证明了一个算术三角形移除引理，该引理指出，对于任意$\epsilon>0$和素数$p$，存在一个$\delta>0$，使得若$X,Y,Z \subset \mathbb{F}_p^n$且$X \times Y \times Z$中的三角形数量至多为$\delta N^2$，则我们可以从$X$、$Y$和$Z$中删除$\epsilon N$个元素并移除所有三角形。Green提出了改进算术三角形移除引理定量界限的问题，并特别询问多项式界限是否成立。尽管该问题备受关注，但在本文之前，由第一作者给出的最佳已知界限表明，$1/\delta$可以取为一个高度为$1/\epsilon$的对数的指数塔。我们解决了Green的问题，证明了$\mathbb{F}_p^n$中Green算术三角形移除引理的一个本质上紧的界限。我们证明多项式界限成立，并进一步确定了可能的最佳指数。即，存在一个可计算的数$C_p$，使得我们可以取$\delta = (\epsilon/3)^{C_p}$，并且我们必须有$\delta \leq \epsilon^{C_p-o(1)}$。特别地，$C_2=1+1/(5/3 - \log_2 3) \approx 13.239$，而$C_3=1+1/c_3$，其中$c_3=1-\frac{\log b}{\log 3}$，$b=a^{-2/3}+a^{1/3}+a^{4/3}$，$a=\frac{\sqrt{33}-1}{8}$，这给出$C_3 \approx 13.901$。该证明利用了Kleinberg、Sawin和Speyer关于多色无和集的本质上尖锐的界限，该界限建立在Croot-Lev-Pach最近在cap set问题上的突破以及Ellenberg-Gijswijt、Blasiak-Church-Cohn-Grochow-Naslund-Sawin-Umans和Alon的后续工作之上。