关于具有固定角度的完美三角形个数

Richard Guy 提出了以下问题：我们能否找到一个具有有理边长、有理中线以及有理面积的三角形？这样的三角形被称为完美三角形，迄今为止尚未发现任何实例。人们普遍相信这样的三角形不存在。本文利用 Solymosi 和 de Zeeuw 关于包含在代数曲线中的有理距离集的框架，证明对于任意角度 $0<\theta < \pi$，具有角度 $\theta$ 的完美三角形个数是有限的。有理中线集 $S$ 是平面中的点集，使得对于 $S$ 中任意三个不共线的点 $p_1,p_2,p_3$，以这些 $p_i$ 为顶点的三角形的所有中线长度均为有理数。本文的第二个结果是：定义在 $\mathbb{R}$ 上的不可约代数曲线不包含无穷有理中线集。