度量属性测试的近紧上界

给定一个非负的 $n \times n$ 矩阵，视为 $n$ 个点之间距离的集合，我们考虑判断其是否为度量的属性测试问题。我们也针对两种特殊类的度量——树度量和超度量——考虑相同问题。对于一般度量，本文是首次考虑这些问题。我们证明了该问题查询复杂度的上界为 $O(n^{2/3}/\epsilon^{4/3})$。我们的算法简单，但分析需要在对样本中违反三角形数量的方差进行严格控制时付出很大的努力。当 $\epsilon$ 是随 $n$ 减小的函数（而不是常数），我们证明了下界为 $\Omega(n^{2/3})$，从而排除了任何查询复杂度为 $o(n^{2/3})$ 的属性测试器，除非其对 $1/\epsilon$ 的依赖是超多项式的。接下来，我们转向树度量和超度量。虽然已有上界和下界，但我们大幅改进这些界限，给出约紧的 $\tilde{O}(1/\epsilon)$ 样本复杂度上界。我们还证明了查询复杂度下界为 $\Omega(1/\epsilon^{4/3})$。我们的上界通过对自然简单算法的更细致分析得出。对于下界，我们构造 NO 实例分布，使得难以找到证明这些实例不是超度量的证据。