在 Arboricity 为 $O(\sqrt{n})$ 的图中一般模型下的三角无环性测试

我们研究一般图模型下测试三角无环性的问题。该问题由 Alon 等人（SIAM J. Discret. Math. 2008）首次在一般图模型中研究，他们给出了依赖于顶点数和图平均度的下界与上界。他们的界仅在 $d_{\rm max} = O(d)$ 且 $\bar{d} \leq \sqrt{n}$，或 $\bar{d} = \Theta(1)$ 时紧，其中 $d_{\rm max}$ 表示图的最大度，$\bar{d}$ 表示图的平均度。本文中我们给出依赖于图 arboricity 与平均度的界。与 Alon 等人相同，我们测试器的参数是顶点数 $n$、边数 $m$ 和邻近参数 $\epsilon$（图的 arboricity 不是算法的参数）。我们的测试器的查询复杂度期望为 $\tilde{O}(\Gamma/\bar{d} + \Gamma)\cdot poly(1/\epsilon)$，其中 $\Gamma$ 表示输入图的 arboricity（我们用 $\tilde{O}(\cdot)$ 略去 $O(\log \log n)$ 因子）。我们证明对于 arboricity 为 $O(\sqrt{n})$ 的图，该上界在如下意义下紧：对于任意 $\Gamma \in [s]$（其中 $s= \Theta(\sqrt{n})$），存在一族 arboricity 为 $\Gamma$、平均度为 $\bar{d}$ 的图，使得在该图族上测试三角无环性需要 $\Omega(\Gamma/\bar{d} + \Gamma)$ 次查询。此外，该下界对任意此类 $\Gamma$ 以及大范围可行平均度均成立。