多次翻转中的失控：k-单调性测试的困难性
计算复杂性
2018-06-05 v2
摘要
函数 f : {0, 1}^n -> {0, 1} 若在每个升链上于0和1之间翻转至多k次，则称为k-单调的。此类函数代表了（1-）单调函数的自然推广，近来已在电路复杂性、PAC学习和密码学中被研究。我们的工作是重新关注理解以任意序模式自由性（作为单调性的推广）为表征的性质的可测试性的一部分。最近，Canonne等人（ITCS 2017）在性质测试领域开启了k-单调函数的研究，Newman等人（SODA 2017）研究了在线段[n]域上实值函数中以序模式自由性为表征的函数族的可测试性。我们在Parnas等人（JCSS, 72(6), 2006）引入的更宽松的参数化性质测试模型中研究k-单调函数。在此过程中，我们解决了先前工作中遗留的一个问题。具体而言，我们的结果包括如下。1. 在超立方体上以单边错误非自适应地测试2-单调性需要指数级于 \sqrt n 的查询次数。该行为与测试（1-）单调性形成鲜明对比，后者仅需 O(\sqrt n) 次查询（Khot等人，FOCS 2015）。此外，即便是区分2-单调函数与远离 n^.01 -单调函数的看似更简单的任务，也需要指数级查询次数。2. 在超立方体 [n]^d 域上，存在一种测试算法，其进行常数次查询并区分k-单调函数与远离 O(kd^2)-单调的函数。鉴于上述超立方体的下界，此种依赖关系可能是必要的。
引用
@article{arxiv.1705.04205,
title = {Flipping out with many flips: hardness of testing k-monotonicity},
author = {Elena Grigorescu and Akash Kumar and Karl Wimmer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1705.04205},
year = {2018}
}
备注
18 pages