性质测试的适应性层次定理

已知适应性在性质测试中起着关键作用。特别地，存在某些性质，其自适应测试算法（其中每个查询可由先前查询获得的答案决定）与非自适应对应算法（其中所有查询独立于之前查询获得的答案）的能力之间存在指数级差距。本文中，我们在更精细的层面上研究适应性在性质测试中的作用。我们首先通过考虑测试算法使用的“适应性轮数”来量化其适应性程度。更准确地说，如果一个测试器在$k+1$轮中进行查询，且第$i$轮的查询可能依赖于前$i-1$轮获得的答案，则称其为$k$-（轮）自适应的。然后，我们提出以下问题：测试算法的能力是否随适应性轮数平滑增长？我们通过证明性质测试的适应性层次定理对上述问题的回答是肯定的。具体而言，我们的主要结果表明，对于每个$n\in \mathbb{N}$和$0 \le k \le n^{0.99}$，存在一个函数性质$\mathcal{P}_{n,k}$，使得(1)存在查询复杂度$\tilde{O}(k)$的$\mathcal{P}_{n,k}$的$k$-自适应测试器，但(2)任何$\mathcal{P}_{n,k}$的$(k-1)$-自适应测试器必须进行$\Omega(n)$次查询。此外，我们展示了这种定性适应性层次可以在测试图的自然性质时被观察到。