数组局部性质的测试

我们研究一维和多维数组中局部性质的测试。一个 $d$ 维数组 $f:[n]^d \to \Sigma$ 的性质若可由一族 $k \times \ldots \times k$ 的禁止连续模式定义，则称其为 $k$-局部的。该定义涵盖了众多有趣的性质。例如，单调性、Lipschitz 连续性和次模性是 $2$-局部的；凸性（通常）是 $3$-局部的；而计算生物学和计算机视觉中的许多典型问题涉及 $o(n)$-局部性质。在本文中，我们提出一种通用方法，用于测试任意有限字母表（大小不一定有界）上数组的所有局部性质。我们证明，任何 $d$ 维数组的 $k$-局部性质都可由一个简单的规范单侧错误非自适应 $\varepsilon$-测试来检验，其查询复杂度在 $d = 1$ 时为 $O(\epsilon^{-1}k \log{\frac{\epsilon n}{k}})$，在 $d > 1$ 时为 $O(c_d \epsilon^{-1/d} k \cdot n^{d-1})$。该规范测试所进行的查询构成大小各异的类球结构，且完全独立于性质和字母表 $\Sigma$。对于广泛的参数范围，该查询复杂度是最优的：对于 $d=1$，这与许多先前研究的局部性质的查询复杂度相匹配；而对于 $d > 1$，我们设计并分析了一类新的 $k$-局部性质的构造，其单侧非自适应查询复杂度与我们的上界相匹配。对于一些先前研究的性质，我们的方法给出了查询复杂度上已知的第一个次线性上界。