单调模式的最优自适应检测

我们研究用于检测数组中单调模式的自适应次线性算法。给定固定的 $2 \leq k \in \mathbb{N}$ 与 $\varepsilon > 0$，考虑在数组 $f \colon [n] \to \mathbb{R}$ 中寻找长度为 $k$ 的递增子序列的问题，前提是 $f$ 与不含此类子序列的数组相距 $\varepsilon$-far。最近，已证明上述任务的非自适应查询复杂度为 $\Theta((\log n)^{\lfloor \log_2 k \rfloor})$。在本工作中，我们打破非自适应下界，提出该问题的一个自适应算法，其进行 $O(\log n)$ 次查询。这是最优的，匹配 Fischer [2004] 关于单调性测试（对应 $k=2$ 情形）的经典 $\Omega(\log n)$ 自适应下界，并特别意味着测试最长递增子序列（LIS）是否具有常数长度的查询复杂度为 $\Theta(\log n)$。