最长递增子序列估计的新次线性算法与下界

估计数组中最长递增子序列（LIS）的长度是具有根本重要性的问题。尽管LIS估计问题十分重要且备受关注，其若干重要方面尚未被完全理解。对于LIS估计，尚无优于由单调性测试所隐含的显然界（对自适应或非自适应算法）的下界。本文给出了LIS估计复杂度首个非平凡下界，并提供了补充该下界的新算法。具体而言，对每个常数 $\epsilon \in (0,1)$，任何非自适应算法若要对长度为 $n$ 的数组的LIS长度给出加性误差不超过 $\epsilon \cdot n$ 的估计，都必须进行 $\log^{\Omega(\log (1/\epsilon))} n)$ 次查询。接下来，我们设计了随着数组中不同值数量 $r$ 减小而复杂度降低的非自适应LIS估计算法。我们首先给出一个简单算法，进行 $\tilde{O}(r/\epsilon^3)$ 次查询，并以不超过 $\epsilon n$ 的加性误差逼近LIS长度。然后我们利用它构造一个查询复杂度为 $\tilde{O}(\sqrt{r} \cdot \text{poly}(1/\lambda))$ 的非自适应算法，对于LIS长度至少为 $\lambda n$ 的数组，输出LIS长度的一个乘性 $\Omega(\lambda)$ 近似。最后，我们描述了一个非自适应的抗擦除有序性 tester，其查询复杂度为 $O(\log n)$。我们的结果意味着对于单调性这一自然性质，非自适应容忍测试严格难于非自适应抗擦除测试。