动态最长递增子序列与Erdős-Szekeres划分问题

本文中，我们为最长递增子序列（\textsf{LIS}）问题的动态变体及互补的距单调性距离（\textsf{DTM}）问题提供新的近似算法。在该设定下，以下形式的操作依次到达：(i) 添加元素，(ii) 移除元素，或 (iii) 将某元素替换为另一元素。在每一时刻，算法都拥有最长递增子序列（或距单调性距离）的近似值。我们提出一种\textsf{DTM}的$(1+\epsilon)$-近似算法，其最坏情况更新时间为多对数级；以及一种\textsf{LIS}的常数因子近似算法，对任意常数$\epsilon > 0$最坏情况更新时间为$\tilde O(n^\epsilon)$。% 运行时间中的$n$表示操作到达时数组的大小。我们的\textsf{LIS}动态算法导出了近乎最优的Erdős-Szekeres划分问题算法。Erdős-Szekeres划分问题由Erdős和Szekeres于1935年提出，已知可在$O(n^{1.5}\log n)$时间内求解。后续工作直到1998年才将运行时间改进为$O(n^{1.5})$。我们的动态\textsf{LIS}算法导出了运行时间为$\tilde O_{\epsilon}(n^{1+\epsilon})$（对任意常数$\epsilon > 0$）的Erdős-Szekeres划分问题解法。