有界维数集合系统中的向日葵

给定$k$元集合族$\mathcal F$，$S_1,\ldots,S_r\in\mathcal F$构成一个{\em $r$-向日葵}，若对所有$i \neq j$与$i' \neq j'$均有$S_i \cap S_j =S_{i'} \cap S_{j'}$。根据Erd\H os与Rado（1960）的一个著名猜想，存在常数$c=c(r)$使得若$|\mathcal F|\ge c^k$，则$\mathcal F$包含一个$r$-向日葵。我们在{\em Vapnik-Chervonenkis维数}有界即VC-dim$(\mathcal F)\le d$的集合族情形下接近证明该猜想。此情形下，我们证明在略强的假设$|\mathcal F|\ge2^{10k(dr)^{2\log^{*} k}}$下存在$r$-向日葵。这里$\log^*$表示迭代对数函数。我们还验证了Erd\H os-Rado猜想对具有有界{\em Littlestone维数}的集合族以及一些几何定义的集合系统成立。