向日葵族的一类推广

本文探讨组合域 $2^X$ 与向日葵相关的结构。先前研究发现了 $m$ 元集合族 $\mathcal{F}$ 的 $l$ 阶推广 $$Ext \left( \mathcal{F}, l \right) = \left\{ V ~:~ V \in {X \choose l},~ \exists U \in \mathcal{F}~ U \subset V \right\}$$ 的一些内蕴性质。随后，这导向了如下证明：若 $\mathcal{F}$ 满足 $\Gamma(b)$ 条件，即对任意非空集合 $S$，$$\left| \mathcal{F}[S] \right| < b^{-|S|} |\mathcal{F}| \quad \textrm{其中} \quad \mathcal{F} [S] := \left\{ U : U \in \mathcal{F},~ S \subset U \right\},$$ 且 $b= m^{\frac{1}{2}+ \epsilon}$、$m$ 充分大于给定常数 $1/\epsilon$，则 $\mathcal{F}$ 包含三个互不相交的集合。这强于如下陈述：若 $|\mathcal{F}| > b^m$，则 $\mathcal{F}$ 包含一个 3-向日葵，其中 $k$-向日葵指具有公共两两交集的 $k$ 个不同集合构成的族。进一步精炼该理论，我们证明：若 $\mathcal{F}$ 满足 $\Gamma \left( 8^{\sqrt{\log_2 m}} \sqrt m ~k \log_2 k \right)$-条件且 $m$ 充分大于 $k$，则 $\mathcal{F}$ 包含 $k$ 个互不相交的集合。