向日葵界线的渐近改进

具有核 $Y$ 的向日葵是一个集合族 ${\cal B}$，使得对于 ${\cal B}$ 中任意两个不同元素 $U$ 和 $U'$，都有 $U \cap U' = Y$。著名的向日葵引理指出，如果一个集合族 ${\cal F}$ 中每个集合的基数至多为 $s$，且 $|{\cal F}|> (k-1)^s s!$，则该族包含一个基数为 $k$ 的向日葵。自 Erd"os 和 Rado 于 1960 年证明该引理以来，半个多世纪以来一直未知向日葵界线 $(k-1)^s s!$ 是否可以在渐近意义上对任何 $k$ 和 $s$ 进行改进。据猜想，它可以缩减为 $c_k^s$，其中 $c_k>0$ 是仅依赖于 $k$ 的实数，这被称为向日葵猜想。本文表明，一般的向日葵界线确实可以按指数因子进行缩减：我们证明，如果 $$|{\cal F|} \ge \left( \sqrt{10} -2 \right)^2 \left[ k \cdot \min \left( \frac{1}{\sqrt{10}-2}, \frac{c}{\log \min(k, s)} \right) \right]^s s!,$$ 其中 $c>0$ 为常数，且对于任意 $k \ge 2$ 和 $s \ge 2$，则 ${\cal F}$ 包含一个基数为 $k$ 的向日葵。例如，每当 $k \ge s^\epsilon$（对于给定常数 $\epsilon \in (0,1)$）时，向日葵界线从 $(k-1)^s s!$ 缩减为 $(k-1)^s s! \cdot \left[ O \left( \frac{1}{\log s} \right) \right]^s$，实现了 $\left[ O \left( \frac{1}{\log s} \right) \right]^s$ 的缩减比。此外，任何基数至少为 $\left(\sqrt{10}-2 \right)^2 \left( \frac{k}{\sqrt{10}-2} \right)^s s!$ 的 ${\cal F}$ 都包含一个基数为 $k$ 的向日葵，其中 $\frac{1}{\sqrt{10}-2}=0.8603796\ldots$。我们的结果表明，向日葵界线可以改进一个小于小常数的 $s$ 次幂的因子，为进一步更新带来了希望。