向日葵的图兰数

一组互异集合若任意两集合之交等于所有集合的公共交，则称为向日葵。向日葵是极值集合论中的基本对象，与数学许多其他领域以及理论计算机科学有联系和应用。该领域一个由 Erdős 和 Rado 于 1960 年提出的中心问题询问：保证存在给定大小的向日葵所需的大小为 $r$ 的集合的最少数量。尽管近期受到大量关注，包括一个 polymath 项目和一些惊人突破，甚至渐近答案仍属未知。我们研究 Duke 和 Erdős 于 1977 年首次提出的相关问题，其额外要求所需向日葵的交大小固定。从图论视角看此问题或许更自然，因为它询问由 $k$ 条边组成、每条边大小为 $r$、公共交大小为 $t$ 的向日葵所构成超图的图兰数。对固定的向日葵大小 $k$，答案的阶已由 Frankl 和 Füredi 确定。在 1980 年代，出于某些应用考虑，Chung、Erdős 和 Graham 以及 Chung 和 Erdős 考察了若允许 $k$（所需向日葵的大小）随基集大小增长会发生什么。在三一致情形 $r=3$ 下，向日葵大小的正确依赖关系已由 Duke 和 Erdős 以及独立地由 Frankl 确定；在四一致情形由 Bucić、Draganić、Sudakov 和 Tran 确定。我们通过对任意一致性，确定至常数因子的、具有任意一致性 $r$、公共交大小 $t$ 且向日葵大小 $k$ 允许随 $n$ 增长的 $n$-顶点向日葵的图兰数，解决了这一问题。