无并族的数量

一个集合族被称为无并的（union-free），如果其中不存在三个不同的集合使得其中两个集合的并等于第三个集合。Kleitman证明了每个无并族的大小至多为 $(1+o(1))\binom{n}{n/2}$。后来，Burosch--Demetrovics-Katona-Kleitman-Sapozhenko询问了此类族的数量 $\alpha(n)$，并证明了 $2^{\binom{n}{n/2}}\leq \alpha(n) \leq 2^{2\sqrt{2}\binom{n}{n/2}(1+o(1))}$。他们猜想在右侧指数中的常数 $2\sqrt{2}$ 可以被去掉。我们通过为根超图（rooted hypergraphs）提出一个新的容器型定理证明了他们的猜想。