大的 B_d-自由和无并子族

对于性质 $\Gamma$ 和集合族 $\cF$，令 $f(\cF,\Gamma)$ 为 $\cF$ 中具有性质 $\Gamma$ 的最大子族的大小。对于正整数 $m$，令 $f(m,\Gamma)$ 为所有大小为 $m$ 的族中 $f(\cF,\Gamma)$ 的最小值。如果族 $\cF$ 没有子族 $\cF'=\{F_I: I \subseteq [d]\}$ 由 $2^d$ 个不同集合组成，且对于每个 $I,J \subseteq [d]$，同时满足 $F_I \cup F_J=F_{I \cup J}$ 和 $F_I \cap F_J = F_{I \cap J}$，则称 $\cF$ 是 $B_d$-自由的。如果对于 $\FF$ 中任意不同的集合 $F_1,..,F_{a+1}$，有 $F_1\cup ... F_a \neq F_{a+1}$，则称族 $\cF$ 是 $a$-无并的。我们验证了 Erdős 和 Shelah 的一个猜想，即 $f(m, B_2\text{\rm -free})=\Theta(m^{2/3})$。我们还得到了 $f(m, B_d\text{\rm -free})$ 和 $f(m,a\text{\rm -union free})$ 的下界和上界。