$\mathbb{Z}_{2^n}$ 中最大的无射影立方体子集

在布尔格中，Sperner 定理、Erdős 定理、Kleitman 定理和 Samotij 定理指出，不包含许多链的族必须具有非常特定的分层结构。我们证明，如果在 $\mathbb{Z}_{2^n}$ 中而非 $\mathbb{Z}_2^n$ 中工作，若用维数为 $2^{k-1}$ 的射影立方体替换 $k$-链一词，则若干类似命题成立。我们说 $B_d$ 是维数为 $d$ 的射影立方体，如果存在数 $a_1, a_2, \ldots, a_d$ 使得 $$B_d = \left\{\sum_{i\in I} a_i \bigg\rvert \emptyset \neq I\subseteq [d]\right\}.$$ 作为 Sperner 定理和 Erdős 定理的类似，我们证明当 $d=2^{\ell}$ 是 2 的幂时，$\mathbb{Z}_{2^n}$ 中最大的无 $d$-立方体集是最大 $\ell$ 层的并。作为 Kleitman 定理的类似，Samotij 和 Sudakov 问：在给定大小 $M$ 的 $\mathbb{Z}_{2^n}$ 子集中，使 Schur 三元组（2-立方体）数目最少的集合是否为依次填满最大层所得者。我们证明了 $M=2^{n-1}+1$ 的第一个非平凡情形，并猜想 Samotij 定理的类似也成立。文中还给出了若干开放问题与猜想。