关于树偏序集的一些极值与概率问题

给定两个偏序集$P,Q$,若$Q$不包含$P$的副本,则称$Q$为$P$-自由的。$2^{[n]}$中最大$P$-自由族的大小记为$La(n,P)$,自1980年代以来已被广泛研究。我们考虑若干相关问题。事实上,对于Hasse图为树且半径至多为$2$的偏序集$P$,我们证明$2^{[n]}$中存在$2^{(1+o(1))La(n,P)}$个$P$-自由族,从而在这些情形确认了Gerbner、Nagy、Patkós与Vizer [Electronic Journal of Combinatorics, 2021]的一个猜想。对此类$P$我们也解决了$P$-自由问题的随机版本,从而推广了Balogh、Mycroft与Treglown [Journal of Combinatorial Theory Series A, 2014]以及Collares Neto与Morris [Random Structures and Algorithms, 2016]的Sperner定理随机版本。此外,我们提出一个一般猜想,粗略而言断言:对任一Hasse图为树的偏序集$P$,$2^{[n]}$中大小充分高于$La(n,P)$的子族鲁棒地包含$P$。