链之并的偏序集饱和

集合族 $\mathcal{G}$ 是偏序集 $P=(P,\leqslant)$ 的（导出）副本，如果存在一个双射 $b:P\rightarrow \mathcal{G}$ 使得 $p\leqslant q$ 成立当且仅当 $b(p)\subseteq b(q)$。导出饱和数 sat$^*(n,P)$ 是不包含 $P$ 的任何副本，但对于任意 $G\in 2^{[n]}\setminus \mathcal{F}$，族 $\mathcal{F}\cup \{G\}$ 都包含 $P$ 的一个副本的族 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ 的最小规模。我们考虑由两两不可比的链形成的偏序集 $P$ 的 sat$^*(n,P)$，即 $P=\bigoplus_{j=1}^mC_{i_j}$。我们提出以下两个猜想：(i) 对所有此类偏序集 sat$^*(n,P)=O(n)$，以及 (ii) 若并非所有链都具有相同大小，则 sat$^*(n,P)=O(1)$。（已知若这些链中存在唯一最长的链，则第二个猜想成立。）我们在某些特殊情形下验证了这些猜想：若所有链具有相同长度，我们证明了 (i)；我们在首个未知的常规情形下证明了 (ii)：对于偏序集 $2C_k+C_1$。最后，我们给出了无限多个例子表明，在偏序集 $P=\bigoplus_{j=1}^mC_{i_j}$ 中，(ii) 并非 sat$^*(n,P)=O(1)$ 的必要条件：我们证明了对所有 $t\ge 1$，sat$^*(n,(\binom{2t}{t}+1)C_2)=O(1)$。