关于高度二偏序集中的广义 Turán 结果

对于给定的偏序集 $P$ 与 $Q$ 以及整数 $n$，偏序集的广义 Turán 问题询问：$n$ 维布尔格 $2^{[n]}$ 的无 $P$ 子族中 $Q$ 的副本的最大数目。本文中，除其他结果外，我们证明如下：(i) 对每个 $n\geq 5$，无蝴蝶子族中 $2$-链的最大数目为 $\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$。(ii) 对每个固定的 $s$、$t$ 与 $k$，$2^{[n]}$ 中的无 $K_{s,t}$ 族具有 $O\left(n\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}\right)$ 个 $k$-链。(iii) 对每个 $n\geq 3$，无 $\textbf{N}$ 族中 $2$-链的最大数目为 $\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$，其中 $\textbf{N}$ 是含 4 个不同元素 $\{p_1,p_2,q_1,q_2\}$ 的偏序集，满足 $p_1 < q_1$、$p_2 < q_1$ 且 $p_2 < q_2$。(iv) 我们还证明了无 $5$-路径族中 $2$-链最大数目的精确结果，以及无 $6$-路径族中 $2$-链数目的渐近估计。