子集反链的饱和谱

推广Sperner的经典定理，我们刻画了整数$m$，使得在布尔格$B_n$（即$[n]:=\{1,2,\dots,n\}$的幂集，按包含关系排序）中存在大小为$m$的极大反链。作为证明中的重要组成部分，我们开启了对Kruskal-Katona定理推广的研究，这具有独立意义。对于给定的正整数$t$和$k$，我们询问哪些整数$s$具有如下性质：存在由$k$-集组成的族$\mathcal F$，满足$\lvert\mathcal F\rvert=t$且其阴影大小为$s$，其中$\mathcal F$的阴影是指至少包含于$\mathcal F$一个成员中的$(k-1)$-集的集合。我们对$t\leqslant k+1$给出了完整回答。此外，我们证明了不是任何$k$-集族阴影大小的最大整数为$\sqrt 2k^{3/2}+\sqrt[4]{8}k^{5/4}+O(k)$。